一元三次方程求根公式怎么来的(求三次方程的求根公式)

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求三次方程的求根公式 一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三

求三次方程的求根公式

一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)式(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了

著名的三次方程求根公式

大家好，今天跟大家谈论下三次方程的问题，二次方程很容易搞定，到了三次，解法是什么呢？

1.三次方程求根公式诞生

   历史上有个文艺复兴时期，一元三次方程解法就在那时候诞生的，当时学术界喜欢浪漫，掌握真正解法后并不发表而是互相竞赛，比试下谁求解更厉害。意大利一位数学家塔塔利亚，在一次挑战中完胜，其内容就是关于三次方程求解的问题，从此名声大噪，他将成为历史上掌握三次方程求根方法第一人，但当时却没发表他的解法，而是继续挑战，来证明自己的实力。

   那时，一位有心人叫卡尔达诺（Cardano，有译为卡丹），觊觎其解法，就书信请教塔塔利亚，再三哀求下，终于知晓求根的真谛，并且向塔塔利亚承诺任何时候都不发表塔塔利亚的解法，但没多久卡尔达诺发表《大术》一书，完完整整地记载了三次方程的求根公式，并称为卡尔达诺公式，三次方程求根公式从此诞生。

   有人为塔塔利亚忿不平，辛辛苦苦的成果被人篡夺，但卡尔达诺说那不是塔塔利亚的解法，真相到底是什么，就无人知晓了。不过我们清楚，再好的成果不去分享也是自私的，古人孰对孰错留给大家评说吧……

2.求根方法

   卡尔达诺公式的算法还是很清晰的，对于缺少二次方项的三次方程，型如x3+px+q=0，由于对称样式，可以设x=m1/3+n1/3，三次项展开之后可提出公因式m1/3n1/3化简，然后分别使两部分等于0，就相当于解一个二次方程了，最后能得出一个根，即

三次根式里面写出二次根式的形式在当时首次出现，是一种进步，进步来了但问题也随之而至……

3.后续问题

   利用卡尔达诺公式，有些很简单的问题被复杂化，比如

x3+6x=20，按照公式解出来是这样的

但仔细观察会发现上式可因式分解，即

x3-8+6x-12=0

(x-2)(x2+2x+4)+6(x-2)=0

(x-2)(x2+2x+10)=0

易知，2是其中的实根，当然那个时候没有虚数概念，而且只认为正数才是根，很难把上面的根与2联系在一起，这还不是最郁闷的，有些情况用卡尔达诺公式根本得不出解，

如x3-39x+70=0，通过卡尔达诺公式算得

根式下出现负数了，无法求解，仔细观察会发现原方程依然可因式分解，即

x3-8-39x+78=0

(x-2)(x2 +2x+4)-39(x-2)=0

(x-2)(x2 +2x-35)=0

(x-2)(x+7)(x-5)=0

可知方程存在3个根，2，-7，5，那么，用卡尔达诺公式出现的根到底是怎么回事儿呢？

4.解决方法

   问题出现在化简上，三次根式里面放二次根式是空前的创意，很难找到化简方法，再有就是当时没有复数概念，遇到三次根式里面还有虚数就更无法入手了。

   三方程求根公式的出现，引起人们对数域的反思，后来发展出今天的虚数单位i，现在认为数的全部域我们都触及到了，真的是这样么？不一定哦……

   我们根据前面的过程能确定m，n的值，但根x1并不是m+n，而是立方根的和m1/3+n1/3，立方根其实是多值的，平方根都有正负两个值，立方根当然不能逊色了，把所有情况都讨论出来才会得到正确答案。

   引入复数之后，根据前面提到的塔塔利亚或者说是卡尔达诺的方法，对求三方程根的过程加以探讨，凝聚出今天的结果，

如果x3+px+q=0，那么，原方程的三个根分别为：

其中

   最后，对于三次方程的完全形式，

ax3+bx2 +cx+d=0，可以设x=y-(b/3/a)，就可以消去平方项了，这就是著名的三次方程求根公式……

卡尔达诺公式对数学界的影响颇大，激怒了塔塔利亚，后来卡尔达诺的学生为老师辩解，提出竞赛挑战，哪知这名学生叫费拉里，早已想出四次方程的解法了，完虐塔塔利亚！现实就是这样，敝帚自珍，不知不觉地被后人超越，逆水行舟不进则退，分享互利才是发展的阶梯……

   求根公式也促进了数域的发展，后来高斯根据复数的理论和前人的贡献证明了任何n次方程在复数范围都有n个根……涉及复数就出现很多东西，三言两语说不清楚，有兴趣的朋友给我们留言吧！

   最后告诉大家一个秘密，对于三次方程根的结构，可以证明如果求根公式中二次根式里面是负数，那么它将存在三个实数根，惊不惊喜，意不意外？

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ax3+bx2 +cx+d=0

解一元三次方程的一般步骤是什么?

一般的一元三次方程可以通过的代换消掉二次项，得到所以解三次方程的关键是解只含有一次项的方程。含有二次项但不含有一次项的一元三次方程，经过代换后可以消掉二次项，但是却会冒出一次项出来。对于方程代换后得到...

一元三次方程求根公式那个国家先发现的？时间？谁？

一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0的求根公式是1545年由意大利学者卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式(有的数学资料叫卡尔丹公式)最早是南宋数学家秦九韶至晚在1247年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。

一元三次方程求根公式中i的含义

i叫做虚数单位，它的定义式是：i²=-1三次方程的求根公式是在复数集合中的公式，如果你是初中学生，还没有学过复数，那是没法理解i这个数数的，在实数集合中，负数是没有平方根的，所以在实数范围里不能理解i²=-1这个公式，但是引进复数了，-1就有两个平方根i和-i,不但-1有平方根了，所有负数都有平方根了，所有实数都有平方根了，在实数范围里无实数解的问题在复数集合中全解决了，原来数学中的许多障碍都解决了，于是数学的研究就进入了一个全新的美妙的世界想了解这个全新的世界么？努力吧，祝你成功

一元三次方程怎么解?

其中，i是虚数单位，sqrt表示求平方根。4.最后，通过计算x=y-(p/3)，我们可以得到方程的三个实根。这就是一元三次方程的求根公式。下面，我将举一个例子来说明：例子：解方程x^3-3x^2+3x-1=0...

关于一元三次方程求根公式怎么将"型如ax^3+bx^2+cx+d的标准型一元三次...

化成x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+(d/a)=0可以写成x^3+a1*x^2+a2*x+a3=0其中a1=b/a,a2=c/a,a3=d/a令y=x-a1/3则y^3+px+q=0其中p=-(a1^2/3)+a2q=(2a1^3/27)-(a1*a2)/3+a3

一元三次方程求根公式

一元三次方程的一般形式为

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一元三次方程求根公式

楼上胡说八道。高等数学并没有说三次方程没有求根公式。事实上，3次和4次方程都有求根公式，5次及以上的高次方程才没有一般的解析公式。3次方程求根公式是著名的卡尔丹公式方程x^3+px+q=0的三个根为x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)++w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)其中w=(-1+√3i)/2.推导过程：1、方程x^3=1的解为x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^22、方程x^3=A的解为x1=A（1/3）,x2=A^(1/3)*ω,x3=A^(1/3)*ω^23、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0①如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-p^3/27=0的两个根。解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)不妨设A=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),B=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)则u^3=A,v^3=Bu=A（1/3）或者A^(1/3)*ω或者A^(1/3)*ω^2v=B（1/3）或者B^(1/3)*ω或者B^(1/3)*ω^2但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解：u1=A（1/3）,v1=B（1/3）u2=A^(1/3)*ω,v2=B^(1/3)*ω^2u3=A^(1/3)*ω^2,v3=B^(1/3)*ω那么方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即x1=u1+v1=A（1/3）+B（1/3）x2=A^(1/3)*ω+B^(1/3)*ω^2x3=A^(1/3)*ω^2+B^(1/3)*ω这正是著名的卡尔丹公式。你直接套用就可以求解了。△=q^2/4+p^3/27为三次方程的判别式。当△>=0时，有一个实根和两个共轭复根；当△根与系数关系是：设ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根为x1,x2,x3,则x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.打字好累啊！以上可是我的劳动成果啊！别忘了给我加分啊。祝你，学习进步！参考资料：版权所有，复制必究！

一元三次方程求根公式什么时候教？

三次方程的求根公式是意大利的卡尔丹诺找到的。卡尔达诺，意大利名为GirolamoCardano，出生于1501年9月24日，卒于1576年9月21日，他是意大利文艺复兴时期百科全书式的学者，其主要成就在数学、物理、医学方面

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